Systèmes : plus d'inconnues que d'équations - Corrigé

Énoncé

Le système linéaire d'équations   \(\begin{cases}x-2y+z=7\\5x-y+2z=2\end{cases}\)  a trois inconnues et seulement deux équations...

1. Peut-on l'écrire sous forme matricielle ?

2. Le résoudre.

3. Donner une interprétation géométrique.

4. Que penser du cas général d'un système linéaire qui comporte plus d'inconnues que d'équations ?

 Solution

1. On peut écrire ce système sous forme  \(AX=B\)  avec  \(A=\begin{pmatrix}1&-2&1\\5&-1&2\end{pmatrix}\) ,  \(X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) et  \(B=\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}\) .
Le produit  \(AX\)  est bien compatible et son résultat est une matrice colonne de 2 lignes.

2. Pour le résoudre, on va considérer une des inconnues (par exemple \(z\) ) comme un paramètre et réécrire le système :  \(\begin{cases}x-2y=7-z\\5x-y=2-2z\end{cases}\) . C'est alors un système de deux équations à deux inconnues de déterminant  \(9\) .
Il a une solution unique pour  \(z\)  fixé, qui est  \((-\dfrac{1+z}{3}; -\dfrac{11-z}{3})\) .
L'ensemble des solutions du système est donc l'ensemble des triplets  \((x;y;z)\)  tels que  \(\begin{cases}x=-\dfrac{1+z}{3}\\y= -\dfrac{11-z}{3}\\z\in\mathbb{R}\end{cases}\)

3. Les deux équations de départ correspondent à des équations de plans dans l'espace.
Les vecteurs normaux de ces plans  \(\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\)  et  \(\begin{pmatrix}5\\-1\\2\end{pmatrix}\)  ne sont pas colinéaires, donc ces deux plans sont sécants, et leur intersection est une droite.
À la question 2, on a trouvé un système d'équations paramétriques de cette droite qu'on peut aussi écrire  \(\begin{cases}x=-\dfrac{1+k}{3}\\y= -\dfrac{11-k}{3}, k\in\mathbb{R}\\z=k\end{cases}\)

4. Quand il y a moins d'équations que d'inconnues, il y a en général une infinité de solutions (attention, si le système avait correspondu à deux plans strictement parallèles, il n'y aurait eu aucune solution).